ベイズの定理: おそらく私達が毎日使う数学のツールですが、それは何ですか

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(Fig.1) ダーツ：彼は的の中心に当たるでしょうか。ベイズの定理を使用すると、あなたの予測は、どのように現在の試合が進行しているか－そして、どのように彼が過去にプレーしたか－に基づいて行われます。

私達の世界観とその結果としての行動は、150 年以上前に物静かな英国の数学者で神学者により、秘密裏に発明された単純な定理により頻繁に駆動されます。

私達の世界観とその結果としての行動は、次の単純な定理により頻繁に駆動されています。この定理は、150 年以上前に静かな英国の数学者(mathematician)で神学者(theologian)のトーマス・ベイズ(Thomas Bayes)氏(a)により秘密裏に考案され、彼の死後に初めて公開(b)されたものです。

ベイズの定理(Bayes’ Theorem)(c)は、第二次世界大戦中にナチス(Nazi)のエニグマ暗号(Enigma code)を解読するために使用されたことで有名です、そして現在は科学、技術、医学などでの不確実性を管理しています。

それで、それはどのように機能しますか。

ベイズの定理の説明

トーマス・ベイズの洞察は著しく単純でした。仮説が真(true)である確率は、次の2 つの基準に依存します：

現在(「事前」)の知識に基づいて、それがどれだけ賢明なのか
それは、新しい証拠にどれだけ程度適合するのか

ですが、彼の死後100年間、科学者達は通常、新しい証拠にのみ対して仮説を評価しました。これは、私達のたいていの人達が理科[科学]の授業で教えられている伝統的な仮説検定(hypothesis-testing)(または確率論の提唱者(frequentist))(d)のアプローチです。

(d) frequentist | Merriam Webster

ベイズ的(Bayesian)アプローチと確率論の提唱者のアプローチの違いは、もっともらしくない説明が新しい証拠の一部に完全に適合するときが一番です。

仮説を立ててみましょう：「月はチーズでできています」

(Fig.2) もっともらしくない仮説マイケル・リー (フリンダース大学と南オーストラリア博物館)

私は空を見上げ、関連のある新しい証拠を集めました。月はチーズのような黄色であることに注意してください。伝統的な仮説検証の枠組みでは、私はこう結論付けます、新しい証拠は私の無理な仮説と一致しています。従って、それについて私の自信が増しています。

(Fig.3) 従来の仮説検証方法 (確率論の提唱者のアプローチ)は、仮説が新しい証拠にどの程度適合するかのみを考慮します。マイケル・リー (フリンダース大学と南オーストラリア博物館)

しかし、ベイズの定理を使うと、私はより慎重になります。私の仮説は新しい証拠に適合する一方で、そのアイデアは最初からばかげており、私達は宇宙論(cosmology)と鉱物学(mineralogy)について知っている全部に違反します。

したがって、月がチーズである全体的な確率－両方の条件の産物－は、とても低いままです。

(Fig.4) ベイズ推定では、仮説が既存の知識にどれくらい適合するか、また新しい証拠にどれくらい適合するかを考慮します。簡単にするために、正規化定数は式から省略されています。マイケル・リー (フリンダース大学と南オーストラリア博物館)

一般の認めるように、これは極めて下手なもじり(e)です。まともな科学者は、そのようなばかな仮説をわざわざ検証することはありません。

(e) Frequentists vs. Bayesians | xkcd

しかし、世界中の科学者達は常に膨大な数の仮説を評価しています、そしてこれらの一部は、むしろ無理なものでしょう。

例えば、2010 年の研究は、初めのうちは次のことが提示されました。穏健な政治的見解を持つ人々は、文字通り、灰色の色合いをより理解できる(f)目を持っています。

(f) Scientific method: Statistical errors | nature

これは後に、実施したさらなる検証の後に却下されました。何故ならば研究者達は、それは最初から信じがたいことだと認識していたからです。しかし、他の同様の研究が無批判に容認されたことは、ほぼ確実です。

生活でのベイズ的なアプローチ

私達は、確率を何気ない日常に割り当て私達の生活を管理するために、経験や記憶から得た事前の知識と、私達の感覚からの新しい証拠を使います。

仕事用の携帯電話に応答するという簡単なことを考えてみてください。携帯電話は通常、仕事中はオフィスの机の上に、家にいるときは充電器の上にあなたは置いています。

あなたは家庭菜園をしていて、家の中でそれ[電話]が鳴っているのが聞こえます。あなたの新しいデータは、屋内のどこにでもあるのと同じですが、それでも、あなたは充電器に直行します。

あなたは、電話(通常、オフィスの机の上か自宅の充電器の上)に関する事前の知識と、その場所を特定するための新しい証拠(家の中のどこか)を組み合わせました。

もしも電話が充電器の所にないのならば、あなたは検索を絞るために、以前にあなたが電話を置いたことがある場所の事前知識を使用します。

あなたは家の中のほとんどの場所((冷蔵庫、靴下の引き出し)を先験的にありそうにないものとして無視します。そして、あなたが最終的に電話を見つけるまで、最も可能性が高いと考えられる場所を限定してゆきます。

信念と証拠

ベイズ推定(Bayesian inference)の特徴は、データが弱いとき、事前の信念が最も重要です。私達は、この原理を直感的に使います。

例えば、もしもあなたがパブでダーツ(darts)をしていて、そして近くにいた見知らぬ人に、彼または彼女はプロのダーツ・プレーヤーだと言われたのならば、あなたは初め、その人は冗談を言っていると仮定するかもしれません。

あなたはその人についてほぼ何も知りませんが、本物のプロのダーツ・プレーヤーとの出会いの機会は小さいです。ダーツプレイヤーズ・オーストラリア(DartPlayers Australia)(g)はザ・カンバセーション(The Conversation)誌に、オーストラリアに約 15 人しかいないと伝えています。

(g) Dartplayers Australia

もしも見知らぬ人がダーツを投げて的の中心部に当たったのならば、それは依然としてあなたを揺すぶらないかもしれません。それは、まぐれ当たりかもしれません。

ですが、もしもその人が連続で10回的の中心部に当たったのならば、あなたは、プロだという彼らの主張を受け入れる傾向があります。証拠を蓄積することで、あなたの以前の信念は覆されます。ベイズの定理が再び上手く働きます。

総てを支配する1つの理論

ベイジアン推論(Bayesian reasoning)(h)は、がん検診(cancer screening)(i)から地球温暖化(global warming)(j)、遺伝学(genetics)(k)、金融政策(monetary policy)(l)、そして人工知能(m)まで、人間の問い合わせの広大な領域を支えています。