自然の法則の根底にあり得る特有な数学

(Fig.) アーティクル・イメージ　　ケンブリッジ大学の数学物理学者のコール・フューレイ氏は、素粒子物理学の標準モデルと八元数の間のつながりを見つけています。八元数の値は、その乗算規則がファノ平面(Fano plane)と呼ばれる三角形の図表にエンコードされています。

新発見は、次の古い疑惑を煽っています。素粒子と力は、「八元数」と呼ばれる奇妙な8つの部分から生まれます。

2014年、カナダ(Canada)のウォータールー大学(University of Waterloo)の大学院生のコール・フューレイ(Cohl Furey)氏は、車を借りてペンシルバニア州立大学(Pennsylvania State University)まで南に6時間運転しました、そこでムラト・グナイディン(Murat Günaydin)という物理学の教授と話をしたいと考えていました。フューレイ氏は、40年前のグナイディン氏の発見に基づいて構築する方法を考え出していました－これは、次のほとんど忘れられていた結果です。それは、基本的な物理学と純粋数学(pure math)との関係についての強力な気付きを支持しました。

何十年にもわたって多くの物理学者や数学者が抱いていましたが、しかし積極的に探求することはめったにない気付きは、現実を構成する力(force)と粒子(particles)の特有のひと揃いは、理論的に「八元数(octonions)[オクトニオン]」と呼ばれる8次元の性質から生じます。

C. Furey - Division algebras and physics - for a more general audience

(2:08)　2017/10/09 ・・・追加ビデオ

数字が進むとして、お馴染みの実数(real numbers) － 1、π、-83.777などの数線上にあるもの－は、物事を始めるだけです。実数は、「複素数(complex numbers)」を形成するために、特定の方法で対にできます。これは、16世紀のイタリア(Italy)で最初に研究され、2次元平面上の座標のように振る舞います。足し算(adding)、引き算(subtracting)、掛け算(multiplying)、割り算(dividing)は、平面の周りの位置を平行移動や回転するようなものです。適切に対にされた複素数は、4次元「四元数(quaternions)[クォータニオン]」を形成します。これは、1843年にアイルランド(Irish)の数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトン(William Rowan Hamilton)により発見されました。その場で彼は、ダブリン(Dublin)のブルーム・ブリッジ(Broome Bridge)に、公式(formula)を夢中になって彫りました。ハミルトン氏の友人で弁護士のジョン・グレイブス(John Graves)は、続いて次のことを示しました。四元数の対は八元数を作ります：理論的[抽象的]な8次元空間の座標を定義する数値です。

(Fig.1) 1843年に八元数を発見したアイルランドの弁護士兼数学者、ジョン・グレイブス氏。　マックチューター(MacTutor)数学史

そこでゲームは停止します。次の証明が1898年に浮上しました。実数、複素数、四元数、八元数は、足し算、引き算、掛け算、割り算ができるわずかな種類の数値です。これらの「多元体(division algebras)」の最初の3つは、すぐに20世紀の物理学の数学的基礎を敷き、実数は遍在して現れ、複素数は量子力学(quantum mechanics)の数学を提供し、四元数はアルバート・アインシュタイン(Albert Einstein)氏の特殊相対性理論(special theory of relativity)の根底にあります。これにより、多くの研究者達は、最後で最も理解されていない多元体について、疑問に思うようになりました。八元数は宇宙の秘密を保持しているかも知れませんか。

多元体 - Wikipedia

「八元数は、セイレーン達がユリシーズにしたこと同じように物理学に対するものです」と、フロリダ大学(University of Florida)の素粒子物理学者で弦理論家のピエール・ラモンド(Pierre Ramond)氏は、電子メールで述べました。

セイレーンたちとユリシーズ - Wikipedia

ペンシルベニア州立大学(Penn State)のグナイディン教授は、1973年にイェール大学(Yale)の大学院生のときに、彼と彼の顧問であるフェザ・ギュルセイ(Feza Gürsey)氏は次の発見をしました。八元数と、原子核内でクォークを結合する強い力(strong force)との間の驚くべきつながりです。発見に関心のある最初の動揺は、持続しませんでした。当時の誰もが素粒子物理学の標準モデル(Standard Model) －既知の素粒子(elementary particles)と、強い力、弱い力(weak force)、電磁力(electromagnetic forces) (重力を除く総ての基本的な力)を介したそれらの相互作用を説明する一連の方程式－に、戸惑っていました。しかし、標準モデルのミステリーに対する数学的な答えを探すのではなく、大抵の物理学種達は、高エネルギー素粒子衝突型加速器(high-energy particle colliders)やその他の実験に期待を寄せており、現実をより詳しく説明するために、追加の粒子が現れ標準モデルを超える道を進むことを期待していました。彼らは「こう想像しました、進歩の次の少しの進歩は、私達がすでに持っているピースについてもっと深く考えることから[よりもむしろ]、いくつかの新しいピースがテーブルにドロップされてやって来るでしょう」と、カナダ(Canada)のウォータールー(Waterloo)にある理論物理学ペリメーター研究所(Perimeter Institute of Theoretical Physics)の理論物理学者であるレイサム・ボイル(Latham Boyle)氏は述べました。

数十年間、標準モデルの粒子を超えて粒子は見つかりませんでした。その間、八元数の奇妙な美しさは、4年前にグナイディン氏を訪れたカナダの大学院生のフューレイ氏を含めて、時折、独立心のある研究者を引き付け続けています。惑星間の旅行者のように見え、鋭い青い目の間のポイントに向かって先細りになる途切れ途切れの銀色の前髪で、フューリーは、黒板に難解なシンボルを殴り書きしました。強い力と電磁力の両方の八元数モデルを構築することにより、彼女が彼とギュルセイ氏の研究を拡張したことをグナイディン氏に説明しようとしています。

「彼に詳細を伝えることは、私が口を挟むのに苦労したので、私が予期していたよりも少し難しいことがわかりました」と、フューレイは回想しました。グナイディン氏は、弦理論(string theory)、M理論(M-theory)、超重力(supergravity) －重力を他の基本的な力(fundamental forces)と統合する試みの関連理論－との深いつながりを通じて、70年代から八元数の研究を続けてきました。しかし、彼の八元数の追求は、常に主流の外でした。彼は、彼女の博士号のためのもう１つの研究プロジェクトを見つけるようにフューリー氏に助言しました、八元数が彼にそうしたと彼が感じたのと同じくして、八元数が彼女に対して門戸を閉ざすかもしれないからです。

(Fig.2) ケンブリッジのトリニティ・ホールの敷地内で、ポートレートのポーズをとっているフューレイ氏は、ヨガ・マットの上でよく研究しています。

しかし、フューレイ氏は諦めませんでした－諦められませんでした。八元数や他の多元体が自然の法則の根底にある深い直感に駆り立てられて、彼女は同僚に次のように伝えました。もしも彼女が学界で仕事を見つけられなかったのならば、彼女はアコーディオン(accordion)をニューオーリンズ(New Orleans)に持って行き、そして、彼女の物理学の習慣をサポートするために路上で大道芸をする計画です。代わりに、フューリー氏は、英国(United Kingdom)のケンブリッジ大学(University of Cambridge)のポスドク(postdoc)[博士課程終了者]を着陸させました。それ以来彼女は、標準モデルに八元数を結び付ける多くの結果を生み出してきました。それは、専門家達が、魅惑的で、好奇心をそそり、エレガントで斬新だと呼んでいます。「彼女は、いくつかの本当に深い物理のパズルを解くことに向けて重要な一歩を踏み出しました」と、ラトガーズ大学(Rutgers University)の数学物理学者、シャディ・タービルダー=ザデ(Shadi Tahvildar-Zadeh)氏は述べました。彼は、フューレイ氏が自分の研究について作った一連の講義ビデオをオンラインで見た後に、最近ケンブリッジ大学のフューレイ氏を訪れました。

フューレイ氏は、まとめて総ての標準モデルの粒子と力の、単純な八元数モデルを構築していませんし、彼女は重力について触れていません。彼女は数学的可能性がたくさんあることを強調しますし、そして専門家達は次のことを伝えるのは時期尚早だと言います。八元数と他の多元体(もしあれば)を合わせるどちらの方法が、成功につながるのか。

「彼女はいくつかの興味深い結びつきを見つけました」と、弦理論での八元数の役割を研究してきた、インペリアル・カレッジ・ロンドン(Imperial College London)の先駆的な弦理論家で教授の、マイケル・ダフ(Michael Duff)氏は述べています。「私の視点では、それは確かに追求する価値があります。それが最終的に標準モデルを描写する方法になるかどうか、言うのは難しいです。もしそうならば、それは総ての最高の－革命的、などなど－の資格を得るでしょう。」

特有の数字

私は6月に、ケム川(River Cam)の川岸にあるトリニティ・ホール(Trinity Hall)に入る守衛部屋(porter’s lodge)で、フューレイ氏に会いました。小柄で筋肉質で、ノースリーブの黒いTシャツ(総合格闘技(mixed martial arts)の傷跡が見える)、ロール・アップ・ジーンズ、漫画のエイリアンのある靴下、ベジタリアン・シューズ(Vegetarian Shoes)ブランドのスニーカーを直接身に着けて、彼女は講義ビデオで異世界の人物よりもバンクーバー人でした。私達は、大学の芝生の周りをゆっくり歩きました、暑い太陽の下で、中世の出入り口を頭をかがめて通りました。別の日に、私は彼女が芝生の上の紫色のヨガ・マットで物理学をしているのを見たかもしれません。

39歳のフューレイ氏はこう言いました、彼女は、ブリティッシュコロンビア州(British Columbia)の高校で、特定の瞬間に、最初に物理学に惹かれました。彼女の先生はクラスにこう教えました、4つの基本的な力だけが、世界の総ての複雑さの根底にあります－さらに、1970年代以降の物理学者達は、それら総てを単一の理論的構造内に統合しようとしていました。「それは、私が今まで聞いた中で最も美しいものでした」と、彼女は私に冷たい目で言いました。彼女は、数年後、バンクーバーのサイモン・フレイザー大学(Simon Fraser University)の学部生として、4つの多元体について学んだ上で、同じような気持ちになりました。そのような記数法の1つ、または無限に多くは、合理的に思えます。「でも4つ？」彼女は考えたことを思い出します。「なんて独特でしょう。」

Cohl Furey on the Octonions and Particle Physics

(1:50)　2018/07/22 ・・・コール・フューレイ氏は、八元数とは何か、素粒子物理学と何の関係があるのかを説明しています

学校を休んだ後、スキー放浪者(ski-bumming)、海外でのバーテンダー、総合格闘技家としての激しいトレーニングに費やし、その後フューレイ氏は、高度な幾何学コースで再び多元体に出会いました、そして4回のストロークでそれらがどれだけ特有になるかを学びました。実数から複素数に、四元数に、八元数に移行するときに、各ステップで次元を2倍にすると、「あらゆるステップで、特性(property)を失います」と、彼女は説明しました。実数は、最小から最大の順に並べることができますが、例えば、「複素平面(complex plane)にはそのような概念はありません。」次に、四元数は可換性を失います；それらにとって、a×b は b×a と等しくありません。これは意味を成します、というのは、高次元の数を乗算(multiplying)することは回転(rotation)が含まれ、そして、あなたが2次元以上で回転の順序を切り替えるとき、あなたは別の場所に行き着くからです。さらに奇異なことに、八元数は非結合的(nonassociative)です。つまり、(a×b)×c は a×(b×c) と等しくありません[可換ではありません]。「非結合的なものは数学者に強く嫌われています」と、カリフォルニア大学リバーサイド校(University of California, Riverside)の数学物理学者で、八元数の第一人者のジョン・バエズ(John Baez)氏は述べました。「非可換(noncommutative)な状況を想像するのは－靴下履いてから靴を履くのは、靴を履いてから靴下を履くのとは異なります－とても簡単ですが、非結合的な状況を考えるのは大変に困難です。」もしも、靴下を履いてから靴を履く代わりに、まず靴下を靴に入れるのならば、技術的にそれでも両方に足を入れて同じ結果を得ることができるはずです。「括弧(parentheses)は人工的に感じます。」

八元数の一見非物理的な非結合性は、多くの物理学者がそれらを開拓する努力を麻痺させてきましたが、しかし、バエズ氏はこう説明しました、それらの特有の数学もまた常に、それらの主要な魅力でした。自然は、その4つの力が数十個の粒子と反粒子の周りを詰めていますが、それ自体が特有です。標準モデルは「癖のある風変わりな」ものですと、彼は言いました。

標準モデルで、素粒子(elementary particles)は3つの「対称群(symmetry groups)」の現れ[顕在化]です－本質的に、粒子の部分集合(subsets)を交換する方法で、方程式は変更されないままです。これらの3つの対称群、SU(3)、SU(2)、それとU(1)は各々、強い力、弱い力、それと電磁力に対応します。そして、それらは6種類のクォーク(quarks)、2種類のレプトン(leptons)、加えてそれらの反粒子(anti-particles)に「作用」します。粒子の種類毎に、それらの質量を除いてまったく同じ3つのコピーかまたは「世代(generations)」でやって来ます。 (4番目の基本的な力、重力は、アインシュタインの一般相対性理論により単独に、かつ互換性なく記述されています。一般相対論は、時空(space-time)の幾何学の曲線として、それ[重力]をキャスト[配役]します。)

粒子のセットは、次のことと同じように標準モデルの対称性を示します。90度の回転の対称性を実現するために、正方形の4つの角が存在する必要があります。問題は、なぜこの対称群－ SU(3)×SU(2)×U(1) －なのでしょうか。そして、観測された粒子の電荷の奇妙な取り合わせ、不思議な左右像(handedness)、3世代の余剰(redundancy)で、何故この特定の粒子表現なのでしょうか。そのような質問への従来の意見は、標準モデルを、より完全な理論的構造の一部の破片として扱ってきました。しかし、競合する動向は、八元数を使用し、そして「論理の法則から奇妙さを、何とかして得ようとする試みです」と、バエズ氏は述べました。

フューレイ氏は、次のことを学んだとき、大学院でこの可能性を真剣に追求し始めました。四元数は、粒子が4次元の時空で平行移動や回転する方法を捉えます。彼女は、粒子の電荷のように、粒子の内部特性について不思議に思いました。「私はこれに気付きました、八元数の8自由度は、1世代の粒子に当てはまり得ます： 1つのニュートリノ(neutrino)、1つの電子(electron)、3つのアップクォーク(up quarks)、3つのダウンクォーク(up quarks)です」と、彼女は述べました－以前に眉を上げていた少しの数秘術(numerology)です。以来、偶然の一致が激増しています。「もしも、この研究プロジェクトが殺人ミステリーだったとしたら、私はこう言うでしょう、私達はまだ手がかりの取集の進行中です」と、彼女は述べました。

ディクソン代数

素粒子物理学を再構築するために、フューレイ氏は4つの多元体の積R⊗C⊗H⊗O (実数はR、複素数はC、四元数はH、八元数はO ) を使用します－物理学者のジェフリー・ディクソン(Geoffrey Dixon)氏の後、ディクソン代数と呼ばれることもあります。彼は、教職員の仕事に失敗して分野を離れる前、1970年代と1980年代に最初にこのやり方(tack)を採用しました。 (ディクソン氏は、私に彼の回想録からの一節を転送しました：「私が持っていたのは、次の制御不能な直感でした。これらの代数は素粒子物理学を理解するための鍵でしたし、もし必要ならば、私は、崖からこの直感に従うことを喜んでいました。一部の人達は、私がやったと言うかもしれません。」)

ディクソン氏と他の人は、多元体を特別な数学的機構(mathematical machinery)と混合することにより進めたのに反して、フューレイ氏は自分自身を制限します；彼女のスキーム(scheme)[体系]では、代数は「それ自体に作用します。」 R⊗C⊗H⊗Oとして組み合わされて、4つの数体系は64次元の抽象的な空間を形成します。この空間内は、フューレイ氏のモデルで、粒子は数学的な「理想」です：亜空間(subspace)のエレメント(elements)は、他のエレメントを乗算するとき、その亜空間にとどまり、粒子が移動、回転、相互作用や変形してさえも、粒子が粒子のままにすることを許します。考えはこうです、これらの数学的理想は自然の粒子で、そしてそれらは R⊗C⊗H⊗Oの対称性を表します。

ディクソン氏が知っていたように、代数はきれいに2つの部分に分かれます： C⊗H と C⊗O、それぞれ四元数と八元数の複素数との積 (実数は、取るに足らない)。フューレイ氏のモデルでは、粒子が時空で移動や回転する方法に関連する対称性は、まとめてローレンツ群(Lorentz group)として知られ、代数の四元数 C⊗H の部分に起因します。対称群 SU(3)×SU(2)×U(1) は、粒子の内部特性と、強い力、弱い力、電磁力を経由した相互の相互作用に関連し、八元数の部分 C⊗O からのものです。

グナイディン氏とギュルセイ氏は、初期の研究で、既に八元数の中に SU(3) を見つけました。八元数 1、e1、e2、e3、e4、e5、e6、e7の基本セットを考えてみましょう。これは、8つの異なる直交(orthogonal)方向の単位距離です：それらは G2 と呼ばれる対称性のグループを尊重します。これは、たまたま珍しい「例外的なグループ」の1つで、他の既存の「対称群」ファミリーに数学的に分類することはできません。八元数と、総ての例外的なグループやその他の特別な数学的なオブジェクトとの親密な関係は、それらの重要性における信念をより強くし、著名なフィールズ賞(Fields)のメダリストで、アーベル賞(Abel Prize)を受賞した数学者、マイケル・アティヤ(Michael Atiyah)氏に、例えば、これを納得させました、自然の最終理論は八元数でなければなりません。「私達が到達したい本当の理論は、重力が、八元数と例外的なグループの結果であるのを見られるような方法で、これら総ての理論に重力が含まれるべきです」と、彼は2010に述べました。彼はこう付け加えました、「私達は八元数が難しいことはわかっているので難しいでしょうが、しかし、あなたがそれを見つけたとき、それは美しい理論であるべきで、比類のないものであるべきです。」

e7を定数にする一方で、他の単位の八元数を変換することは、グループ SU(3) へのそれらの対称性を減らします。グナイディン氏とギュルセイ氏は、単一世代(single generation)のクォークに作用する強い力の八元数モデルを構築するために、この事実を利用しました。

(Fig.3) Four Special Number System　PDFダウンロード

フューレイ氏はさらに進みました。 5月に欧州物理学ジャーナルC(The European Physical Journal C)に掲載された彼女の最新の論文で、彼女は、電子、ニュートリノ、3つのアップクォーク、3つのダウンクォークとそれらの反粒子の電荷と他の属性の正しい配列を生成する数学で、単一世代の粒子に対して、完全な標準モデルの対称群 SU(3)×SU(2)×U(1) を構築するために、いくつかの調査結果を統合しました。数学はまたこの理由も提示しています、どうして電荷はとびとびの[離散的な]単位で量子化(quantized)されるのか－本質的に、整数(whole numbers)だからです。

しかしながら、そのモデルの粒子を配置するやり方で、自然界に存在する3世代の粒子全体をカバーするために、モデルを自然に拡張する方法が不明確です。しかし、現在専門家達の間で出回り、フィジカル・レターB(Physical Letters B)誌にりレビューされているもう１つ新しい論文で、フューレイ氏は、標準模型の2つの完全な[破られない]対称性、SU(3) と U(1) を構築するために、C⊗O を使用しています。 (自然界で、SU(2)×U(1) は、粒子に質量を吹き込むプロセスの、ヒッグス(Higgs)メカニズムにより U(1) に分解されます。この場合では、対称性は3世代の粒子総てに作用しますし、そしてステライル(sterile)ニュートリノと呼ばれる粒子の存在を許します－物理学者が現在積極的に探しているダークマター(dark matter)の候補です。「3世代モデルには SU(3)×U(1) だけがあります、そうなので、それはより基礎的です」と、フューレイ氏は、ホワイトボードにペンを構えて私に伝えました。「問題は、1世代の絵(picture)から3世代の絵に移行する、明白な方法はあるのでしょうか。私は、あると思います。」

ステライルニュートリノ - Wikipedia

これは、彼女のこれからの主な質問です。数理物理学者のミシェル・デュボア-バイオレット(Michel Dubois-Violette)氏、イヴァン・トドロフ(Ivan Todorov)氏と、スヴェトラ・ドレンスカ(Svetla Drenska)氏はまた、例外的なジョルダン代数(Jordan algebra)と呼ばれる八元数を取り込んだ構造を使用して、3つの粒子世代をモデル化しようとしています。何年にもわたって単独で研究した後に、フューレイ氏は、さまざまなアプローチをとる研究者達と協力し始めていますが、しかし彼女は、それ自体に作用する4つの多元体の積 R⊗C⊗H⊗O に忠実なことを好みます。それは十分に複雑で、細切れにできる多くの方法で柔軟性を提供します。フューレイ氏の目標は、後の理解で、必然と感じるモデルを見つけることで、これには、質量、ヒッグス・メカニズム、重力、時空が含まれます。

既に、数学で時空の感覚があります。彼女は次の発見をしました。 R⊗C⊗H⊗O の要素の総ての乗法連鎖は、「ジェネレーター(generators)[発生器]」と呼ばれる10の行列(matrices)により生成できます。 9つのジェネレーターは空間次元のように振る舞い、反対の符号を持つ10番目のジェネレーターは時間のように振る舞います。弦理論はまた、10次元の時空を予測します－そして八元数も同様にそこに関わっています。フューレイ氏の研究が弦理論に関連しているかどうか、またはどのように関連しているかは、解決しないままです。

彼女の将来もそうです。彼女は現在、教職員の仕事を探していますが、しかし、それに失敗すると、常にスキー場やアコーディオンがあります。「アコーディオンは音楽界の八元数です」と、彼女は言いました－「悲劇的に誤解されました」。彼女はこう付け加えました、「私がそれを追求したとしても、私はいつもこのプロジェクトに取り組んでいました。」

最終理論

フューレイ氏は、物理学と数学の関係について、内心はそれらが全く同じかどうかなど、私のより哲学的な質問に関して、ほとんど異議を唱えました。しかし彼女は、除算(division)の特性がそれほど重要な理由についての謎に連れて行かれています。彼女はまた、無限(infinity)への一般的なアレルギーを反映して、次の予感を持っています。R⊗C⊗H⊗O は実際には近似値で、最終的な理論では、実数の無限の連続体(continuum)を含まない別の関連する数学システムに置き換えられます。

それは、ただの直感的な話です。しかし、標準モデルが驚異的な完璧さへのテストに合格し、そして、ヨーロッパの大型ハドロン衝突型加速器(Large Hadron Collider、LHC)で具体化する、はっきりさせる新粒子はありません。ホワイトボードと黒板への回帰を先導する、動揺とわくわくするような両方の新しい感覚が空中にあります。次の急成長する感覚があります。「たぶん私達は、現在のピースを合わせる工程をまだ終えていません」と、ペリメーター研究所のボイル氏は述べました。彼はこう評価します、この可能性は「多くの人が理解しているよりも前途有望です」、そしてこう述べました、それは「それが現在得ているよりももっと注目に値します、そうなので、私は次のことをとてもうれしく思います。コール氏のような一部の人々は、真剣にそれを追求しています。」

ボイル自身は、標準モデルと八元数との可能な関係について書いていません。しかし、他の多くの人と同じように、彼は、それらのセイレーンの歌[何かしら興味をそそるが、潜在的に危険な誘惑的なアピール]を聞いたことを認めています。「私は希望、それと疑いさえも共有します。八元数が、どういうわけか、基礎的な物理学で役割を果たすかもしれません、それらはとても美しいからです」と、彼は述べました。

----- 出典 -----

www.quantamagazine.orgbsahely.comvnexplorer.net

ホームページ： Home | C. Furey | Physics

ユーチューブ： Cohl Furey - YouTube

----- 参考ビデオ -----

The Peculiar Math That Could Underlie the Laws of Nature